Ολοκληρωτικός Λογισμός

Απλοί υπολογισμοί

Clear["Global`*"] Integrate[x Exp[a x], x] Integrate[x Exp[a x], {x, 0, 1}] Integrate[x Exp[-a^2 x], {x, 0, Infinity}] NIntegrate[ Exp[-Sqrt[x]], {x, 0, 1}]

Σειρά Riemann

Clear["Global`*"] RiemannBar[box : {{x0_, x1_}, {y0_, y1_}}, {x_, y_}, _] := Block[{area = (y1 + y0) (x1 - x0)}, Sow[area]; {ChartElementData["Rectangle"][box, {}, {}], {Opacity[1], Black, Point[{x, y}]}, If[Abs[area] < 10^-2, {}, {Opacity[1], Black,Rotate[Text[ToString[NumberForm[area, {Infinity, 2}]], Mean /@ box], Pi/2, Mean /@ box]}]}] RiemannPlot[f_, {x_, x0_, x1_, dx_: 1.}, opts___] := Block[{plot, areas, extent, points, curve}, extent = OptionValue[Flatten[{opts}], ExtentSize]; points = If[IntegerQ[dx], RandomReal[{x0, x1}, dx], Switch[extent, Full, Range[x0, x1, dx], Left, Range[x0 + dx, x1, dx], Right, Range[x0, x1 - dx, dx]]]; {plot, areas} = Reap[DiscretePlot[f, Evaluate@{x, points}, opts, ImageSize -> 475, ExtentElementFunction -> RiemannBar, FillingStyle -> Opacity[0.5], PlotStyle -> PointSize[Small]]]; Show[plot, Plot[f, {x, x0, x1}], PlotLabel -> ToString@Row[{"Estimated Area: ", Total[Flatten@areas], "; " "Actual Area: ", NIntegrate[f, {x, x0, x1}]}], Frame -> True, PlotRange -> All, Axes -> {True, False}] ] RiemannPlot[BesselJ[5, x], {x, 0, 10, 0.5}, ExtentSize -> Full] RiemannPlot[BesselJ[5, x], {x, 0, 10, 0.25}, ExtentSize -> Full, PlotStyle -> ColorData["Crayola"]["Asparagus"]]

Μήκη

Μήκος καμπύλης y=f(x) από το A(a,f(a)) έως το B(b,f(b)).

Clear["Global`*"] f[x_] := Sqrt[1 - x^2] a = 0; b = 1; Integrate[Sqrt[1 + (f'[x])^2], {x, a, b}]

Μήκος παραμετρικής καμπύλης (x(t),y(t)).

Clear["Global`*"] x[t_] := Cos[t] y[t_] := Sin[t] a = 0; b = Pi; Integrate[Sqrt[(x'[t])^2 + (y'[t])^2], {t, a, b}]

Μήκος πολικής καμπύλης r=f(θ).

Clear["Global`*"] r[θ_] := 1 - Cos[θ] a = 0; b = 2 Pi; Integrate[Sqrt[(r[θ])^2 + (r'[θ])^2], {θ, a, b}]

Εμβαδά

Εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ των καμπυλών $r_1=f(θ)$ και $r_2=g(θ)$.

Clear["Global`*"] r1[th_] := 1 r2[th_] := 1 - Cos[th] th1 = -Pi/2; th2 = Pi/2; 1/2 Integrate[Abs[r2[th]^2 - r1[th]^2], {th, th1, th2}]

Εμβαδόν της επιφάνειας z=f(x,y) πάνω από το $[a,b]\times[c,d]$.

Clear["Global`*"] f[x_, y_] := x + 2 y a = 0; b = 1; c = 1; d = 2; Integrate[Integrate[Sqrt[D[f[x, y], x]^2 + D[f[x, y], y]^2 + 1], {x, a, b}], {y, c, d}]

Εμβαδόν επιφάνειας που παράγεται από την περιστροφή του τόξου AB της y=f(x) ($f(x)\geq0$) περί του x'x.

Clear["Global`*"] f[x_] := x^2 + x a = 0; b = 1; Integrate[2 Pi f[x] Sqrt[1 + (f'[x])^2], {x, a, b}]

Εμβαδόν επιφάνειας που παράγεται από την περιστροφή του τόξου AB της (x(t),y(t)) περί του των αξόνων.

Clear["Global`*"] x[t_] := 2 + Cos[t] y[t_] := 1 + Sin[t] a = 0; b = 2 Pi; (*Περί του x'x. Πρέπει y>=0*) Integrate[2 Pi y[t] Sqrt[(x'[t])^2 + (y'[t])^2], {t, a, b}] (*Περί του y'y. Πρέπει x>=0*) Integrate[2 Pi x[t] Sqrt[(x'[t])^2 + (y'[t])^2], {t, a, b}]

Εμβαδόν της παραμετρικοποιημένης επιφάνειας $\vec{r}(u,v)=f (u,v)\vec{e_ 1}+g (u,v)\vec{e_ 2}+h (u,v)\vec{e_3}$.

Clear["Global`*"] f[u_, v_] := u Cos[v] g[u_, v_] := u Sin[v] h[u_, v_] := u r = {f[u, v], g[u, v], h[u, v]}; a = 0; b = 1; c = 0; d = 2 Pi; Integrate[ Integrate[Norm[Cross[D[r, u], D[r, v]]], {u, a, b}], {v, c, d}]

Όγκοι

Όγκος στερεού με εμβαδόν διατομής A(x) από x=a έως x=b.

Clear["Global`*"] A[x_] := Pi x^2 a = 1; b = 2; Integrate[A[x], {x, a, b}]

Όγκος στερεού που παράγεται από την περιστροφή του τόξου AB της y=f(x) ($f(x)\geq0$) περί του x'x.

Clear["Global`*"] f[x_] := x^2 a = 1; b = 2; Integrate[Pi f[x]^2, {x, a, b}]